Undamped Series-Resonant Circuit (Rangkaian LC)

Rangkaian LC merupakan rangkaian elektronik sederhana yang terdiri dari tegangan sumber V_d, induktor L dan kapasitor C. Semua komponen tersebut disusun secara seri. Rangkaian ini disebut undamped karena memang tidak ada resistor yang berfungsi sebagai dumper. Nanti akan terlihat dalam persamaan orde dua dari rangkaian tersebut kalau rasio dumping nya bernilai nol.

Gambar 1. Undamped Series-Resonant Circuit (Rangkaian LC) [1]

Sebuah rangkaian LC (Undamped Series-Resonant Circuit) ditunjukkan pada Gambar 1 dengan tegangan input V_d saat t₀. Kondisi awal atau pada saat t₀ dari state variable arus induktor i_L dan tegangan kapasitor v_c adalah I_L0 dan V_c0. Persamaan rangkaian di atas adalah sebagai berikut:

(1) …

Dan

(2)…

Untuk mendapatkan variable v_c, persamaan (2) bisa diubah menjadi:

(3)…

Dengan menggabungkan persamaan (3) ke dalam persamaan (1) maka V_d menjadi:

(4)…

Untuk membuktikan bahwa rangkaian tersebut adalah Undamped Series-Resonant Circuit, maka dengan menggunakan transformasi Laplace, persamaan (3) dan persamaan (4) bisa ditulis sebagai berikut:

(5)…

dan

(6)…

Hubungan tegangan input V_d(s) dan tegangan output V_c(s) adalah sebagai berikut:

(7)…

dimana

(8)…

Sehingga persamaan (7) bisa ditulis sebagai berikut:

(9)…

Pada persamaan (9) terlihat bahwa sistem (rangkaian) tersebut tidak mempunyai rasio dumping ζ.

Untuk mendapatkan solusi persamaan (1) dan (2) dari rangkaian di atas, maka persamaan (4) di-differensiasikan:

(10)…

maka

(11)…

Dengan memasukkan persamaan (8), persamaan (11) bisa ditulis sebagai berikut:

(12)…

Untuk menyelesaikan persamaan (12) yang merupakan persamaan homogen orde dua, maka kita tulis ulang persamaan (12) dalam bentuk berikut:

(13)…

Dengan menggunakan pengandaian y=e^rt, y’=re^rt dan y’’=r²e^rt, maka persamaan (13) ditulis sebagai berikut:

(14)…

Sehingga

(15)…

Atau bisa ditulis sebagai berikut

(16)…

Dari persamaan (16) sudah sangat jelas kalau persamaan (14) mempunyai dua akar berbeda yaitu r=jω_o dan r=-jω_o . Sehingga solusi umum persamaan (12) adalah sebagai berikut:

(19)…

Dimana

(20)…

Dan

(21)…

Lalu dengan memasukkan persamaan (20) dan (21) ke dalam persamaan (19) dan dengan memisahkan konstanta real dan imajiner, akan di dapat:

(22)…

Dengan membuat konstanta baru C=(A+B) dan D=j(A-B), maka persamaan (22) bisa ditulis sebagai berikut:

(23)…

Sebagaimana di awal, pada saat t=0 maka i_L(t)=I_L0 sehingga

(24)…

Dan konstanta C bisa didapat

(25)…

Untuk mendapatkan nilai D, differensiasikan persamaan (23)

(26)…

Kemudian kembali ke persamaan (1)

(27)…

Atau dengan menggabungkan dengan persamaan (26), maka:

(28)…

Kemudian gabungkan dengan persamaan (27)

(29)…

Dimana pada saat t₀=0, i_L(t₀)=I_L0, dan v_c(t₀)=V_c0,

(30)…

Sehinggal konstanta D adalah sebagai berikut:

(31)…

Dengan memasukkan konstanta C dan D di persamaan (25) dan (31) ke dalam persamaan (23), maka:

(32)…

Atau dengan menintegrasikan L_r ke dalam ω_o akan di dapat karakteristik impendansi rangkaian Z_o.

(33)…

Dan persamaan (32) bisa ditulis sebagai berikut:

(34)…

Untuk medapatkan solusi untuk v_c, maka kembali pada persamaan (1)

(35)…

Dimana

(36)…

Dengan menggabungkan persamaan (36) ke dalam persamaan (35), didapat

(37)…

Dimana Z_o=L_rω_o, sehingga persamaan (37) bisa ditulis

(38)…

Gambar gelombang tegangan kapasitor dan arus inductor pada saat I_L0=0.5 dan V_c0=0.75 bisa dilihat pada Gambar 2.

Gambar 2 Gelombang tegangan kapasitor dan arus induktor pada saat I_L0=0.5 dan V_c0=0.75 [1]

Acuan:

[1] Mohan, Undeland, Robbins,”Power Electronics: Converters, Applications and Design”,Media Enhanced Third Edition, Wiley and Sons,2003.

Advertisement