Undamped Series-Resonant Circuit (Rangkaian LC)

Rangkaian LC merupakan rangkaian elektronik sederhana yang terdiri dari tegangan sumber Vd, induktor L dan kapasitor C. Semua komponen tersebut disusun secara seri. Rangkaian ini disebut undamped karena memang tidak ada resistor yang berfungsi sebagai dumper. Nanti akan terlihat dalam persamaan orde dua dari rangkaian tersebut kalau rasio dumping nya bernilai nol.

clip_image002

Gambar 1. Undamped Series-Resonant Circuit (Rangkaian LC) [1]

Sebuah rangkaian LC (Undamped Series-Resonant Circuit) ditunjukkan pada Gambar 1 dengan tegangan input Vd saat t0. Kondisi awal atau pada saat t0 dari state variable arus induktor iL dan tegangan kapasitor vc adalah IL0 dan Vc0. Persamaan rangkaian di atas adalah sebagai berikut:

(1) …clip_image004

Dan

(2)…clip_image006

Untuk mendapatkan variable vc, persamaan (2) bisa diubah menjadi:

(3)…clip_image008

Dengan menggabungkan persamaan (3) ke dalam persamaan (1) maka Vd menjadi:

(4)…clip_image010

Untuk membuktikan bahwa rangkaian tersebut adalah Undamped Series-Resonant Circuit, maka dengan menggunakan transformasi Laplace, persamaan (3) dan persamaan (4) bisa ditulis sebagai berikut:

(5)…clip_image012

dan

(6)…clip_image014

Hubungan tegangan input Vd(s) dan tegangan output Vc(s) adalah sebagai berikut:

(7)…clip_image016

dimana

(8)…clip_image018

Sehingga persamaan (7) bisa ditulis sebagai berikut:

(9)…clip_image020

Pada persamaan (9) terlihat bahwa sistem (rangkaian) tersebut tidak mempunyai rasio dumping ζ.

Untuk mendapatkan solusi persamaan (1) dan (2) dari rangkaian di atas, maka persamaan (4) di-differensiasikan:

(10)…clip_image022

maka

(11)…clip_image024

Dengan memasukkan persamaan (8), persamaan (11) bisa ditulis sebagai berikut:

(12)…clip_image026

Untuk menyelesaikan persamaan (12) yang merupakan persamaan homogen orde dua, maka kita tulis ulang persamaan (12) dalam bentuk berikut:

(13)…clip_image028

Dengan menggunakan pengandaian y=ert, y’=rert dan y’’=r2ert, maka persamaan (13) ditulis sebagai berikut:

(14)…clip_image030

Sehingga

(15)…clip_image032

Atau bisa ditulis sebagai berikut

(16)…clip_image034

Dari persamaan (16) sudah sangat jelas kalau persamaan (14) mempunyai dua akar berbeda yaitu r=jωo dan r=-jωo . Sehingga solusi umum persamaan (12) adalah sebagai berikut:

(19)…clip_image036

Dimana

(20)…clip_image038

Dan

(21)…clip_image040

Lalu dengan memasukkan persamaan (20) dan (21) ke dalam persamaan (19) dan dengan memisahkan konstanta real dan imajiner, akan di dapat:

(22)…clip_image042

Dengan membuat konstanta baru C=(A+B) dan D=j(A-B), maka persamaan (22) bisa ditulis sebagai berikut:

(23)…clip_image044

Sebagaimana di awal, pada saat t=0 maka iL(t)=IL0 sehingga

(24)…clip_image046

Dan konstanta C bisa didapat

(25)…clip_image048

Untuk mendapatkan nilai D, differensiasikan persamaan (23)

(26)…clip_image050

Kemudian kembali ke persamaan (1)

(27)…clip_image052

Atau dengan menggabungkan dengan persamaan (26), maka:

(28)…clip_image054

Kemudian gabungkan dengan persamaan (27)

(29)…clip_image056

Dimana pada saat t0=0, iL(t0)=IL0, dan vc(t0)=Vc0,

(30)clip_image058

Sehinggal konstanta D adalah sebagai berikut:

(31)…clip_image060

Dengan memasukkan konstanta C dan D di persamaan (25) dan (31) ke dalam persamaan (23), maka:

(32)…clip_image062

Atau dengan menintegrasikan Lr ke dalam ωo akan di dapat karakteristik impendansi rangkaian Zo.

(33)…clip_image064

Dan persamaan (32) bisa ditulis sebagai berikut:

(34)…clip_image066

Untuk medapatkan solusi untuk vc, maka kembali pada persamaan (1)

(35)…clip_image068

Dimana

(36)…clip_image070

Dengan menggabungkan persamaan (36) ke dalam persamaan (35), didapat

(37)…clip_image072

Dimana Zo=Lrωo, sehingga persamaan (37) bisa ditulis

(38)…clip_image002[4]

Gambar gelombang tegangan kapasitor dan arus inductor pada saat IL0=0.5 dan Vc0=0.75 bisa dilihat pada Gambar 2.

clip_image076

Gambar 2 Gelombang tegangan kapasitor dan arus induktor pada saat IL0=0.5 dan Vc0=0.75 [1]

Acuan:

[1] Mohan, Undeland, Robbins,”Power Electronics: Converters, Applications and Design”,Media Enhanced Third Edition, Wiley and Sons,2003.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: